Como todo o número racional pode ser escrito na forma de fração, definimos o produto de dois números racionais e, da mesma forma que o produto de frações, através de:
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a Ž b , a.b ou ab.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale para toda a Matemática:
(+1) Ž (+1) = (+1)
(+1) Ž (-1) = (-1)
(-1) Ž (+1) = (-1)
(-1) Ž (-1) = (+1)
Concluímos assim, que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Ø Associativa
Para todos a, b, c ∈ℚ: a Ž (b Ž c) =(a Ž b) Ž c
Ø Comutativa
Para todos a, b ∈ℚ: a Ž b = b Ž a
ØDistributiva
Para todos a, b, c ∈ℚ: a Ž (b + c) = (a Ž b) + (a Ž c)
Ø Elemento Neutro
Existe 1 ∈ℚ, que multiplicado portodo o q em ℚ, proporciona o próprio q, isto é, q Ž 1 = q
Ø Elemento Inverso
Para todo ∈ℚ, a, b diferentes de zero, existe ∈ℚ tal que:
Divisão de números racionais
A divisão de p e q ∈ℚ na mais é que a operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p Ž q-1
A divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, por este motivo esta operação é desnecessária no conjunto dos números racionais.
A adição é representada pelo sinal de +, o mesmo sinal que representa um número positivo. Veja a expressão: - 5 + ( +5), ela significa que estamos somando um número negativo com um número positivo. Veja alguns exemplos de como efetuar esse cálculo.
É agora que colocaremos em prática o uso do mínimo múltiplo comum. Pois quando vamos adicionar ou subtrair frações, se os denominadores das frações envolvidas na operação forem diferentes, para efetuarmos devemos torná-los iguais.
2 → numerador 5 → denominador
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
2 + 6 5 5 → como os denominadores são iguais não precisamos tirar o mmc.
2 + 6 = 8 → somamos apenas os numeradores e conservamos o denominador. 5 5
Exemplo 2:
-2 - 5 - 9 3 10 2 → devemos tirar o mínimo.
-20 -15 -135 → depois que encontramos o mmc, devemos pegá-lo e dividi-lo pelo 30 denominador e multiplicar pelo numerador.
-170: 10 = - 17 30 : 10 3
Exemplo 3:
Esse número fracionário pode estar escrito na forma decimal que também são números racionais. Veja:
-1,2 + (-13,7) transformando em soma algébrica
-1,2 – 13,7 para efetuarmos teremos que colocar vírgula em baixo de vírgula.
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
(período: 5)
(período: 3)
(período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Período: 2
Parte não periódica: 0
Período: 4
Período não periódica: 15
Período: 23
Parte não periódica: 1
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde
Em tutoriais anteriores, estudamos aspectos gerais sobre os temas abordados, definições e exemplos resolvidos. Serão iniciados a partir deste tutorial, intercalado com outros assuntos temáticos posteriores, uma série de questões oriundas de concursos e que foram resolvidas por professores de alto gabarito. Quando for possível será mostrada de qual concurso a questão foi retirada, tendo em vista alguns aspectos legais.
Algumas questões a princípio parecerão fáceis, mais é importante lembrar que o estudo está sendo feito em nível de 1º grau, por tanto alguns concursos podem ser de 1ª a 4ª série ou da 5ª a 8ª série.
Obs.: É importante que o estudo das questões seja feito de forma que as soluções não sejam vistas e que o estudante tente fazer apenas com os conhecimentos adquiridos anteriormente.
* Questões
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Assunto: Razão e proporção.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
Resolução:
Escala: 1
20
Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1 = 500 / 20 =
20
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x 5
45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
Assunto: Regra de três
Resolução:
1 copo ---------------> 250 ml
48 copos ------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
1x = 48 x 250
X = 12000 ml
Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a alternativa correta é a letra “a” = 12,00
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá :
a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas
Assunto: Regra de três
Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.
Resolução:
60 s ---------------> 45 voltas
4 s ----------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
60x = 45 x 5
60x = 180
X = 180/60
X = 3 voltas
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
6) Do meu salário líquido dedico:
25% ao aluguel,
30% à alimentação,
5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
e) R$ 650,00
Assunto: Porcentagem e regra de três
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X -------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.
O PROFESSOR CARLOS FILHO, INVENTOU UM SISTEMA DE EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA EXATA, SEJA ELA QUAL FOR, 10 VEZES MAIS RÁPIDO QUE QUALQUER MÉTODO TRADICIONAL JÁ VISTO ANTES, SENDO UMA RAIZ QUADRADA EXATA MENOR QUE 10 000, O CÁLCULO PODE SER FEITO MENTALMENTE EM POUCOS SEGUNDOS. 30/5/2009 13:59:09
(RAIZ QUADRADA EXATA.)
REGRA GERAL:
Em qualquer um dos processos a primeira coisa a ser feita é eliminarmos o penúltimo número, em seguida extraímos a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos a raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.
1.RAIZ QUADRADA TERMINADA
EM 0 E 5.
Eliminamos o penúltimo número, em seguida extraímos a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos a raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.
Depois de aplicada a regra geral:
*Adicionamos zero se ela terminar
em 0.
Exemplo 01:
√100 Eliminando o penúltimo número
√ 1#0
√1 + 0
1 + 0 = 10
Exemplo 02:
√1600 Eliminando o penúltimo número
√ 16#0
√16 + 0
4 + 0 = 40
Exemplo 03:
√10000Eliminando o penúltimo número
√ 100#0
√ 100 + 0
10 + 0 = 100
*Adicionamos cinco se ela terminar
em 5.
Exemplo 01:
√225 Eliminando o penúltimo número
√ 2#5
√1 + 5
1 + 5 = 15
Exemplo 02:
√625 Eliminando o penúltimo número
√ 6#5
√4 + 5
2 + 5 = 25
Exemplo 03:
√1225 Eliminando o penúltimo número
√ 12#5
√ 9 + 5
3 + 5 = 35
2.RAIZ QUADRADA TERMINADA
EM 1,4,6 E 9.
2.1 Eliminarmos o penúltimo número.
Exemplo 01:
√ 1 2 1
√ 1 # 1
Exemplo 02:
√ 1 7 6 4
√ 1 7 # 4
Exemplo 03:
√ 4 2 4 3 6
√ 4 2 4 # 6
Exemplo 04:
√ 1 5 7 6 0 9
√ 1 5 7 6 # 9
2.2 Extrai a raiz quadrada exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz quadrada exata, procuramos à raiz quadrada exata mais próxima deste número e menor que ele.
Os números negativos aparecem em muitos problemas e na maioria dos casos são exigidas regras de cálculo que podem criar muitas confusões, se não tivermos estratégias de estudo. Uma das estratégias que dá bastante resultado é a de relacionar os números positivos e negativos com as idéias de crédito e de débito utilizadas por quem tem uma conta corrente num banco.
Podemos dizer que R$ 300,00, numa conta bancária, são + 300 reais. Se forem debitados, ou seja subtraídos, R$ 400,00 dessa conta, rapidamente, ela vai ficar com um saldo negativo de R$ 100,00. Em linguagem matemática, isso seria escrito asssim:
300 - 400= - 100.
Agora, suponha que a esse saldo negativo sejam creditados R$ 300,00 reais. Como creditar é sinônimo de somar, teremos:
- 100 + 300 = + 200.
O crédito está relacionado à soma, enquanto o débito se relaciona à subtração. Isso permite explorar inúmeros problemas e construir algumas regras. Vejamos.
Se alguém está com um saldo (negativo) de - 550 reais e, na sua conta, for debitado um cheque de 200 reais teremos:
- 550 - 200= - 750.
Se fosse ao contrário, se a situação fosse inversa, com o saldo de + 550 reais, ao qual ocorresse um crédito de 200 reais, teríamos:
+ 550 + 200 = +750.
Nos dois casos, os valores são somados, mantendo-se o sinal referente ao crédito (positivo) ou ao débito (negativo). Subtrair do que já está negativo aumenta o débito, portanto, a quantidade negativa. Somar ao que já está positivo aumenta também o valor numérico do resultado deixando-o ainda maior e mais positivo.
No entanto, nos casos em que um número positivo é subtraído ou um número negativo é somado, devemos calcular a diferença entre os dois valores interpretando a diferença. Por exemplo, se retiramos da conta mais do que temos nela ou fazemos uma soma que não cobre o débito existente, obtemos um resultado negativo.
Para ilustrar isso, vamos retomar os dois primeiros exemplos deste texto. Na subtração 300 - 400 percebemos que a diferença é 100 e que pela condição de o número 300 ser menor do que 400, obtemos o resultado negativo -100.
Podemos inverter os termos dessa expressão,- 400 + 300, e o resultado continua -100. Isso pode ser interpretado da seguinte maneira: o crédito de 300 reais é insuficiente para cobrir o débito de - 400, resultando novamente em -100. Ou seja, subtrair 400 de 300 é igual a somar - 400 a 300.
300 - 400 = - 400 + 300= - 100
Essa propriedade de inverter a ordem facilita o cálculo em muitos casos. Caso se depare com a operação -100 + 300, você tem a opção de escrevê-la assim 300 - 100, que deixa mais claro que o resultado é igual a 200.
Então, que tal calcular agora o valor de - 513 + 211?
513 - 211 = 302
Nesse exemplo, interpretamos que o crédito é insuficiente para cobrir o débito. Há entre um e outro a diferença de 302, que se expressa como - 302 em linguagem matemática.
Uma forma de fixar melhor a idéia de número negativo é considerarmos o zero como referência e fronteira entre o que é positivo e o que é negativo.
Assim, se o saldo é igual a zero, estamos em uma situação limite em que um pequeno débito, uma subtração, deslocará o resultado para o lado negativo. Em contrapartida, se houver um crédito, uma adição, iremos para o lado dos números positivos.
0 + 12 = +12
0 - 12= -12
Essa idéia fica mais interessante se a relacionarmos a outros fatos do cotidiano, além do saldo de uma conta bancária. A escala da temperatura é outro modelo para exercitarmos a soma e a subtração de números positivos e negativos.
Se em um determinado país temos a temperatura de - 5º C (lê-se menos cinco graus centígrados) e depois de dois dias ela aumenta em 6º C, então a nova temperatura será de +1 ºC, pois - 5 + 6= +1. Mas e se em vez de aumentar, a temperatura diminuísse 8ºC? A resposta é - 5 - 8 = -13 ºC.
Poderíamos desenhar um termômetro para representar a flutuação das temperaturas desse país, em determinadas épocas do ano, como também uma reta para mostrar a oscilação dos débitos e dos créditos de uma conta bancária a partir de um saldo. Todas essas idéias conduzem ao mesmo principio de interpretação de aumentar ou diminuir, de creditar ou debitar,o que já está positivo ou negativo.
Soltando a imaginação Os números positivos e negativos ajudam a organizar muitas das experiências de nossas vidas e a interpretar informações de várias disciplinas que necessitam da linguagem matemática. Já citamos duas situações, uma relacionada à temperatura e uma outra ao saldo, agora vamos descrever uma que está relacionada aos deslocamentos do homem sobre a superfície do planeta.
O nível do mar sempre foi uma referência para as experiências humanas. Quando conversamos ou discutimos sobre altitude podemos definir que, acima do nível do mar, as medidas são positivas, enquanto abaixo estão na condição de negativas.
Soltando a imaginação, como faz um roteirista de cinema, podemos inventar um personagem que esteja escalando um monte semelhante ao Everest, com a altitude de 8 848 metros. Se ele conseguisse chegar até a metade da montanha, anotaria no seu diário de viagem que estaria numa posição de + 4424 metros, isto é, 4424 metros acima do nível do mar (ou, se preferir, matematicamente, acima do zero).
De baixo para cima No mesmo filme, também poderia existir algum monstro que se arrastasse nas profundezas de um braço de mar bem próximo a esse monte, numa profundidade de 2 560 metros ou - 2 560 metros.
Pois bem, em um dos momentos do filme, o monstro sobe 300 metros diminuindo a sua altitude negativa para - 2 260 que justificamos com a operação - 2560 + 300. Para esse caso é só lembrarmos de obter a diferença entre 2560 e 300 com sua devida interpretação.
Já o personagem, ao saber da chegada do monstro na superfície do mar, resolve subir o pico na razão de 200 metros por minuto, conseguindo, depois de 5 minutos, ocupar a posição de + 5424 m. O cálculo é de + 4424 + 1 000, o que mostra que, durante a subida, ele aumentou o valor numérico da sua posição.
Não temos informações suficientes para saber se o monstro alcançará nosso personagem, no entanto, não há dúvida de que a superfície do mar, neste problema imaginário, é o nosso marco zero, assim como também haviam sido o zero do termômetro e o zero do saldo bancário.Todos serviram como um recurso para facilitar a exploração dos números positivos e dos números negativos
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.
Esses números tem a forma com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma : com a, b Z e b ≠ 0.
► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = {x = , com a Z e b Z*}
►Outros subconjuntos de Q:
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
quinta-feira, 10 de junho de 2010
Equação do primeiro grau:
Colégio Omega
7º ano A
veja: 2x+1=5
2x=5-1
2x=4
x=4/2
x=2 S={2}
OBS:Uma equação é do primeiro grau quando o maior expoente da incógnita for (1).
(x) significa incógnita.
Primeiro passo: Isolar os termos com incógnita dos termos sem incóginta.
Segundo passo:Quando um termo precisa ser transformado para outro membro ele irá com uma operação.
Quando for uma equação, voce irá separar primeiro os termos com incóginta e sem incóginta ou seja (x).
Quando um número com incógnita estiver negativo, ele terá que passar para o outro membro mudando seu sinal positivo.
Ex: -20x=10
-20x=10.(-1)
20x=-10
x=-10/20 simplifica por 10 que da um e por 10 que da 2 (resultado:-1/2)
E ai galera, fiz esse blog apenas para ajudar um pouco voces sobre matemática,acessem que voces vão gostar do blog. Deixem comentários com suas dúvidas que talvez eu possa ajudá-los.
e 
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
∈ ℚ tal que:
