Como todo o número racional pode ser escrito na forma de fração, definimos o produto de dois números racionais e, da mesma forma que o produto de frações, através de:
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a Ž b , a.b ou ab.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale para toda a Matemática:
(+1) Ž (+1) = (+1)
(+1) Ž (-1) = (-1)
(-1) Ž (+1) = (-1)
(-1) Ž (-1) = (+1)
Concluímos assim, que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Ø Associativa
Para todos a, b, c ∈ℚ: a Ž (b Ž c) =(a Ž b) Ž c
Ø Comutativa
Para todos a, b ∈ℚ: a Ž b = b Ž a
ØDistributiva
Para todos a, b, c ∈ℚ: a Ž (b + c) = (a Ž b) + (a Ž c)
Ø Elemento Neutro
Existe 1 ∈ℚ, que multiplicado portodo o q em ℚ, proporciona o próprio q, isto é, q Ž 1 = q
Ø Elemento Inverso
Para todo ∈ℚ, a, b diferentes de zero, existe ∈ℚ tal que:
Divisão de números racionais
A divisão de p e q ∈ℚ na mais é que a operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p Ž q-1
A divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, por este motivo esta operação é desnecessária no conjunto dos números racionais.
A adição é representada pelo sinal de +, o mesmo sinal que representa um número positivo. Veja a expressão: - 5 + ( +5), ela significa que estamos somando um número negativo com um número positivo. Veja alguns exemplos de como efetuar esse cálculo.
É agora que colocaremos em prática o uso do mínimo múltiplo comum. Pois quando vamos adicionar ou subtrair frações, se os denominadores das frações envolvidas na operação forem diferentes, para efetuarmos devemos torná-los iguais.
2 → numerador 5 → denominador
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
2 + 6 5 5 → como os denominadores são iguais não precisamos tirar o mmc.
2 + 6 = 8 → somamos apenas os numeradores e conservamos o denominador. 5 5
Exemplo 2:
-2 - 5 - 9 3 10 2 → devemos tirar o mínimo.
-20 -15 -135 → depois que encontramos o mmc, devemos pegá-lo e dividi-lo pelo 30 denominador e multiplicar pelo numerador.
-170: 10 = - 17 30 : 10 3
Exemplo 3:
Esse número fracionário pode estar escrito na forma decimal que também são números racionais. Veja:
-1,2 + (-13,7) transformando em soma algébrica
-1,2 – 13,7 para efetuarmos teremos que colocar vírgula em baixo de vírgula.
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
(período: 5)
(período: 3)
(período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Período: 2
Parte não periódica: 0
Período: 4
Período não periódica: 15
Período: 23
Parte não periódica: 1
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde
Em tutoriais anteriores, estudamos aspectos gerais sobre os temas abordados, definições e exemplos resolvidos. Serão iniciados a partir deste tutorial, intercalado com outros assuntos temáticos posteriores, uma série de questões oriundas de concursos e que foram resolvidas por professores de alto gabarito. Quando for possível será mostrada de qual concurso a questão foi retirada, tendo em vista alguns aspectos legais.
Algumas questões a princípio parecerão fáceis, mais é importante lembrar que o estudo está sendo feito em nível de 1º grau, por tanto alguns concursos podem ser de 1ª a 4ª série ou da 5ª a 8ª série.
Obs.: É importante que o estudo das questões seja feito de forma que as soluções não sejam vistas e que o estudante tente fazer apenas com os conhecimentos adquiridos anteriormente.
* Questões
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Assunto: Razão e proporção.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
Resolução:
Escala: 1
20
Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1 = 500 / 20 =
20
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x 5
45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
Assunto: Regra de três
Resolução:
1 copo ---------------> 250 ml
48 copos ------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
1x = 48 x 250
X = 12000 ml
Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a alternativa correta é a letra “a” = 12,00
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá :
a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas
Assunto: Regra de três
Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.
Resolução:
60 s ---------------> 45 voltas
4 s ----------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
60x = 45 x 5
60x = 180
X = 180/60
X = 3 voltas
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
6) Do meu salário líquido dedico:
25% ao aluguel,
30% à alimentação,
5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
e) R$ 650,00
Assunto: Porcentagem e regra de três
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X -------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.